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理系男子の独り善がり

仕事や生活に役立ちそうな(実際に役立つかは別として)数学・物理ネタをつらつらと書いていこうと思ってます.

熱気球が浮く仕組み

Phys-Thm

入試問題としても、ちょくちょく扱われる「熱気球の問題」を考えてみます。他の熱力学の問題とは少し違った考えが必要になってきます。

 

ポイント1:熱気球は「閉じていない系」

通常熱力学の問題では、物質(気体)のやり取りがない「閉じた系」が扱われます。シリンダや風船といったものです。ところが、熱気球には気球の外と空気のやり取りがあります。これが「閉じていない系」という意味です。この時点でボイル・シャルルの法則は使えなくなります。この閉じていないことをどう理解するかが第一のポイントです。

 

ポイント2:「気球が浮く」のはなぜ?

ここは力学の考えを使います。それもそのまんま「浮力の原理(アルキメデスの原理)」です。通常、浮力の原理というと液体中の物体を想像しますが、浮力の原理は流体中の物体に対して成り立つ原理です。空気は流体ですので、空気中の物体にも成り立つわけです。

気球部分により押しのけた空気の重さだけ浮力が得られます。ただし、気球部分には軽くなったとは言え、空気が存在します。さらに、荷台に乗せられた荷物もあります。これらの力関係を考えれば、

 (浮力) ≧ (気球部分の空気による重力)+(荷台の重力)

という式が満たされたとき、熱気球は浮くことになります(等号のときに、ギリギリ浮き出す)。さらに少し書き換えて、

 (浮力)−(気球部分の空気による重力) ≧ (荷台の重力)

とすれば、気球は気球部分の重力の「ギャップ」を利用して浮いているとも言えます。

ところで空気中の物体に浮力が働くということは、人間にも浮力が働いていることになります。体積が大きければ、それだけ「浮力」は得られますが、当然それだけふっくらと・・・(笑)

 

ポイント3:状態方程式を「加工」する

状態方程式は、圧力:P・体積:V・温度:Tという物理量の関係式として与えられています。

 PV=nRT

これを加工していきます。どのように加工するのかというと、密度を用いた関係式となるようにします。n/Vが「モル体積密度」を表すことに気が付けば、簡単です。モル体積密度だとイメージが湧きにくいので、わざわざですが質量密度に書き換えてみます。

そのために、空気の平均分子量:μを導入します。ちなみに、この平均分子量は空気の成分が酸素:窒素=1:4であるとすれば、約28.8[g/mol]と求められます。質量密度:ρは、ρ=nμ/Vとなり、これを用いて状態方程式を書き換えれば、

 P=nμ/V・R/μ・T

 P/(ρT)=R/μ=一定

となります。右辺は気体の「量」には無関係*1であり、閉じていない系でも成立する式となります。さらに、これをボイル・シャルルの法則もどきに書くと、以下のようになります。

 P’/(ρ’ T’)=P/(ρT)

ここへ「閉じていない系」であることを加味します。それは気球の内外では気圧が同じということです。P’=Pということです。

結果、熱気球については、ρ’ T’=ρTという式が成り立ちます。

f:id:miwotukusi:20140130005258p:plain

 

熱気球が浮く条件

ρ’=ρ・T/T'となるので、これを代入して整理すれば、

 T’≧ T/(1- M/ρV)

という条件が得られます。この結果を覚える必要はありません。「気球内の気体を何度まで温めれば、浮き上がることができるか?」といった計算問題となることが多いです。

 

浮き上がる温度を求めるだけじゃ、面白くない

もう一度、気球が浮き上がる条件の式を考えてみます。

 (浮力) ≧ (気球部分の空気による重力)+(荷台の重力)

具体的な式として表すと、

 ρVg ≧ ρ’ Vg+Mg

となります。気球が浮くときの合力:Fは、左辺と右辺の差なので、

 ρVg-(ρ’ Vg+Mg)

 = ρVg-ρ・T/T’・Vg-Mg

 =ρVg(1- T/T’)-Mg

となります。ρ’が温度 T’の関数だったので、合力は気球内の温度:T’の関数として表されます。

ところで気球が上昇していったとき、気球外の外気(大気)はどのように変わるでしょうか?高い山に登れば、気温は下がりますし、空気も薄くなります。これを高度を hとして、物理的な表現に置き換えると次のようになります。

  • 気温が下がる→ 外気の温度:T=T(h)は、hの減少関数として与えられる*2
  • 空気が薄くなる→ 密度:ρ=ρ(h)も hの減少関数として与えられる。

というわけで、合力を書き改めると、

 F(T’, h)=ρ(h)・Vg{ 1- T(h)/T’ }-Mg

となります。与えられた高度に対する気温や密度によって、上昇するために必要な気球内の温度が変わるということです。このような分析や考察を問うような問題があってもいいのかな。と思います。

 

おまけ

気球に乗って太平洋を横断したり、世界一周をしたりという人がたまにいます。偏西風に乗って移動す ることを考えるので、熱気球とはまた違った手段を使います。非常に高い高度に到達するので、先に述べたように空気が薄い(密度が低い)ゆえに浮力が小さい、気温が低いといった「悪条件」があるからです。このような場合は、「閉じた気球にガスを詰めたもの*3」を使用します。浮力を得るために、この気球は非常に大きいものになります。

参考:JAXA | 無人気球到達高度の世界記録更新について

また気球が大きくなれば、気球自体の重さも無視できなくなります。そのため、非常に薄くて丈夫な素材の開発が必要になります。こういうところは、日本が得意なところでもありますね。

最後に、気球に乗ると「風が気持ちよさそうですねぇ」なんて思うかもしれませんが、物理的に考えればこれはウソになります。というのも、風が吹けば気球も一緒に風に流されるので、乗っている人に対する風の相対速度が 0になるからです。

 

熱気球に関するもろもろ(2016/02/03+2016/04/03追記)

これ以降に記している熱気球がらみのネタです.合わせて参考にしてもらうと幸いです.

 

*1:気体の分子量という性質に依存している

*2:地表~高度11kmまでの対流圏においては、1kmあたり 6.5℃ずつ下がる1次関数となります

*3:この場合は、ボイル・シャルルの法則が使える!